Stabilitás és életképesség replikátor rendszerekben

Absztrakt (kivonat)

A matematikai modellek használata a különböző biológiai jelenségek modellezésére nagy múltra tekint vissza, mégis a matematikai populációdinamika aranykorának a 20. század első felét tekinthetjük. Ennek a korszaknak az eredményei ugyanis az olyan ma is vizsgált jelenségek és fogalmak, mint az exponenciális növekedés vagy a környezet eltartóképessége. Ezen kívül ekkor születtek meg az olyan klasszikus modellek, mint például a Lotka-Volterra típusú rendszerek, melyek a matematikai ökológia egyik legfontosabb részét képezik. Ez a dolgozat a már említett Lotka-Volterra rendszer köré épül. Az első rész, miután vázlatosan bemutatja a modell előzményeit, igyekszik részletesen ismertetni azt. A közgazdasági alkalmazhatóság reprezentációjaként az R. M. Goodwin által a 20. század második felében felállított ciklusmodellt is röviden bemutatja. Goodwin a ragadozók és prédák helyett munkásokkal és tökésekkel állította fel, matematikai szempontból ugyanazt a modellt, közgazdasági tartalmat kölcsönözve neki. A dolgozat fő célja azonban stabilitási szempontból vizsgálni az ilyen és ehhez hasonló rendszereket. Ennek következtében több olyan eljárás elméleti hátterének bemutatására, illetve azok alkalmazására is sor kerül, melyek egy (autonóm) dinamikai rendszer egyensúlyainak stabilitását hivatottak meghatározni. A gyakorlatban fontos lehet, de matematikai szempontból sokszor nehéz az olyan, állapottérbeli halmazok kijelölése és meghatározása, amelyek azzal a tulajdonsággal bírnak, hogy minden pontjukhoz létezik a rendszernek olyan megoldása, ami végig a halmazban halad. Az ilyen halmazokat életképesnek nevezzük. A dolgozat utolsó része ennek a problémakörnek a bemutatását tartalmazza, természetesen a ragadozó-zsákmány modellhez hasonló tulajdonságokkal bíró rendszerek szemszögéből. Végül, a konkrét alapmodell esetén, egy Ljapunovfüggvény segítségével, megpróbál ötletet és eljárást adni a K z0 + "B tulajdonságú, életképes K halmazok meghatározásához, amennyiben z0 = (c=d; a=b), a rendszer intR2 +-beli egyensúlyi pontja.