Markov-folyamatok alkalmazhatósága a pénzügyi modellekben

Absztrakt (kivonat)

A pénzügyi matematika világában az egyes pénzügyi eszközök árazásához gyakran az úgynevezett kockázatsemleges mértéket veszik alapul a modellezők. Ennek óriási előnye, hogy a kockázatos eszközök árait a jövőbeni kifizetések várható értékenek a kockázatmentes diszkonttényezővel való diszkontálásával kaphatjuk meg. Noha tudjuk hogy ezen mérték és a statsztikai mérték ekvivalensek, vagyis pontosan ugyanazon események valószínűsége 0, mégis igen eltérőek lehetnek egymástól. Ennek fényében egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy az egyes valószínűségi változók, sztochasztikus folyamatok alapvetően fontos tulajdonságai megőrződnek-e a mérték kicserélése után. Az egyik ilyen fontos tulajdonság a Markovitás, amely lényegében azt jelenti, hogy egy adott pillanatban a folyamat feltételes valószínűsége a múlttól csak a jelenen keresztül függ. Ahogy a közgazdaságtanban elterjedt a dinamikus szemléletmód, egyre több, a sztochasztikus folyamatok elméletére építő modell született, ezek közül sok a Markov-folyamatokra támaszkodik. Szakdolgozatomban elsősorban a kockázatos pénzügyi termékek, hitelderivatívok árazásához használt Markov-modellekkel foglalkozok. Ezen termékek esetén közös pontnak tekinthető, hogy a kifizetési struktúra néhány mögöttes vállalat csődeseményétől függ. Az ilyen típusú termékek megfelelő árazásához elengedhetetlen a csődesemények sztochasztikus alakulásának rendszerét megérteni, melyek részben a többi vállalatnál bekövetkező csődtől, részben a külső makrogazdasági környezettől függnek. A csődesemények alakulását jellemzően ilyen Markov-típusú folyamatokkal modellezik, melyek kidolgozott módszertana átlátható és könnyen kezelhető alkalmazást tesz lehetővé. Az így létrehozott modellek az árazás során a pénzügyi matematikában bevett kockázatsemleges mérték kínálta eszközöket alkalmazzák. Ez azt vonja maga után, hogy a modellépítés során a statisztikai mértékről át kell térnünk a kockázatsemleges mértékre és ez alapján kell számítani a várható értékékeket. Egy-egy ilyen modell építésénél általában felteszik (de előfordul, hogy természetesnek veszik), hogy a statisztikai valószínűségi mező mellett létező Markov-folyamatok a mértékcsere után is megtartják ezen tulajdonságukat. A dolgozat célja ezen feltevés elméleti megalapozása olyan technikák bemutatásával, amelyeket a mértékcsere során alkalmazva a Markov-tulajdonság megörződik. Ezzel tudjuk biztosítani a bemutatott modellek elméleti helyességét, melyet ezután a valós adatokon elvégzett kalibráció után empirikusan is ellenőrizhetünk. A dolgozat felépítése a következő: a 2. fejezet során a szükséges definíciókat és elméleti alapokat rakjuk le, melyekkel később dolgozni fogunk. Alapvetően két módszert tekintünk át. Az első Bielecki et al. (2009) írását követi, amely során segédfolyamatokkal definiált Radon-Nikodym derivált által történő mértékcsere után is megörződik egy eredetileg Markov-lánc. Látni fogjuk, hogy az eredetileg időben homogén folyamatból a mértékcsere után időben inhomogén Markov-folyamat válik. Az így kidolgozott módszertant Jarrow et al. (1997) cikkében bemutatott hitelkockázati modell érvényességének alátámasztására fogjuk használni. A másik bemutatott technika Palmowski és Rolski (2002) által kidolgozott exponenciális mértékcsere, melynek működését folytonos idejű, diszkrét állapotterű Markov-láncok esetében alkalmazzuk (a Jarrow-Lando-Turnbull féle modell is ezen alapszik). Az utolsó részben a modell működését egy számszerűsített példán keresztül mutatjuk be, ahol a Moody's besorolásainak megfelelő vállalatok kötvényeinek árazásához szükséges paraméter-specifikációt végezzük el. Ennek felhasználásával lehetőségünk nyílhat a kötvényekre épülő különböző derívatívok árazására is. Láttuk, hogy a modell működéséhez pontos adatokra van szükségünk, de így is kijöhetnek olyan eredmények, melyek piaci félreárazást valószínűsítenek, ezzel ellentmondva az arbitrázsmentes piacokra tett feltételezésünknek.